 p ∨ q, José fala italiano ou francês.

 ¬(¬p ∧ ¬q) , E´ verdade que José não fala italiano e nem francês.

 p ∧ ¬q, José fala italiano mas não fala francês.

 ¬p ∧ ¬q, José não fala italiano e nem francês.

 p ∧ q, José fala italiano e francês.

Para resolver esta questão, vamos analisar detalhadamente cada uma das alternativas apresentadas, utilizando a lógica proposicional e traduzindo as proposições matematicamente expressas para a linguagem corrente.

<ul>
<li>Alternativa A: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></math> 
Esta representação significa que "José fala italiano ou José fala francês". Esta é uma disjunção lógica correta entre as duas proposições e está corretamente representada e traduzida na alternativa. Logo, está correta.</li>

<li>Alternativa B: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>¬</mo><mo>(</mo><mo>¬</mo><mi>p</mi><mo>∧</mo><mo>¬</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></math> 
Essa expressão representa a negação da conjunção das negações de p e q. Utilizando as leis de De Morgan, essa expressão é equivalente a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></math>, o que significa "José fala italiano ou francês", e não "É verdade que José não fala italiano e nem francês", como sugerido na alternativa. Portanto, esta alternativa está incorreta.</li>

<li>Alternativa C: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∧</mo><mo>¬</mo><mi>q</mi></math> 
Indica que "José fala italiano e não fala francês". Esta é uma conjunção entre p e a negação de q, lógica e corretamente descrita na alternativa. Logo, está correta.</li>

<li>Alternativa D: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>¬</mo><mi>p</mi><mo>∧</mo><mo>¬</mo><mi>q</mi></math> 
Significa "José não fala italiano e não fala francês". Esta é uma conjunção das negações de p e q, corretamente traduzida na alternativa. Logo, está correta.</li>

<li>Alternativa E: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∧</mo><mi>q</mi></math> 
Representa que "José fala italiano e francês". Este é uma conjunção lógica de p e q, e está corretamente descrita na alternativa. Logo, está correta.</li>
</ul>

Portanto, a análise das proposições indica que a alternativa correta é B, pois a tradução apresentada não corresponde corretamente à expressão lógica fornecida.

A proposição ¬p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ¬p é verdadeira quando p é falsa e ¬p é falsa quando p é´e verdadeira;

 Uma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;

 Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa;

 Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma;

 Chamam-se conectivos, palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras.

Analisando cada uma das alternativas tendo como base os conceitos de lógica proposicional:

<ul>
<li>Alternativa A: "A proposição <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>p</mi><mo>¬</mo></mover></math> tem sempre o valor oposto de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math>, isto é, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>p</mi><mo>¬</mo></mover></math> é verdadeira quando <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é falsa e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>p</mi><mo>¬</mo></mover></math> é falsa quando <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é verdadeira."
 VERDADEIRO: Este é um conceito fundamental da negação na lógica proposicional. A negação de uma proposição inverte seu valor de verdade.
</li>

<li>Alternativa B: "Uma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo."
 FALSA: O princípio da não contradição, um dos princípios fundamentais da lógica clássica, afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Esta é a alternativa incorreta e, portanto, é a resposta da questão.
</li>

<li>Alternativa C: "Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa."
 VERDADEIRO: Esta definição captura exatamente o que é uma proposição no contexto da lógica proposicional.
</li>

<li>Alternativa D: "Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma."
 VERDADEIRO: A definição de proposição atômica ou simples é correta, pois estas não são compostas por outras proposições.
</li>

<li>Alternativa E: "Chamam-se conectivos, palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras."
 VERDADEIRO: Conectivos como "e", "ou", "não", e "se... então..." são usados em lógica para combinar proposições criando novas estruturas lógicas.
</li>
</ul>

A alternativa correta é B.

A partir da premissa de que "Todo professor é inteligente" e a afirmação adicional de que "algum professor é paciente", podemos usar lógica proposicional para analisar as afirmações dadas sobre Paulo, Sérgio, Carlos e Antônio. Utilizaremos a notação <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math> para professores, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi></math> para inteligentes e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> para pacientes.

<ul>
<li>a) Paulo é professor. (Errado)</li>
</ul>
Paulo é descrito como inteligente, o que significa que ele pertence ao conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi></math>. Contudo, isso não implica necessariamente que ele seja um professor (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math>), visto que, embora todos os professores sejam inteligentes, nem todos os inteligentes são professores.

<ul>
<li>b) Sérgio não é inteligente. (Errado)</li>
</ul>
Sérgio não ser professor apenas nos assegura que ele não pertence ao conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math>. Ele ainda pode ou não ser inteligente, ou seja, poderia pertencer a conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi></math> de inteligentes. A informação presente não é suficiente para concluir sua relação com a inteligência.

<ul>
<li>c) Antônio é professor. (Errado)</li>
</ul>
Antônio ser paciente implica que ele pertence ao conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math>. Não há informação suficiente para conectá-lo ao conjunto de professores (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math>), fazendo essa afirmação incorreta baseando-se apenas nos dados fornecidos.

<ul>
<li>d) Antônio é inteligente. (Errado)</li>
</ul>
Igual ao caso anterior, só que agora em relação ao conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi></math> de inteligentes. Ser paciente não garante que Antônio seja inteligente. Há insuficiência nas informações para tal conclusão.

<ul>
<li>e) Carlos não é professor. (Certo)</li>
</ul>
Carlos não ser inteligente significa que ele não pertence ao conjunto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>I</mi></math>. Como é afirmado que todos os professores são inteligentes, isso implica que Carlos não pode ser professor (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>P</mi></math>):

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mi>Carlos</mi>
 <mo>∉</mo>
 <mi>I</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>Carlos</mi>
 <mo>∉</mo>
 <mi>P</mi>
 </mrow>
</math>

Assim, a única conclusão necessariamente verdadeira se encontra na alternativa E, onde afirma-se que Carlos não é professor.

<!DOCTYPE html>
<html lang="pt-BR">
<head>
 <meta charset="UTF-8">
 <style>
 body {
 font-size: 16px;
 line-height: 1.5;
 }
 .blue {
 color: blue;
 }
 math {
 font-size: 16px;
 }
 </style>
</head>
<body>
 Para analisarmos corretamente a situação apresentada, vamos representar cada proposição do enunciado de forma clara e analisar as implicações lógicas entre elas.

 As proposições dadas são as seguintes:
 <ul>
 <li>1. "planto ou crio gado": podemos representá-la como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>q</mi>
 </math>, onde p é "planto" e q é "crio gado".</li>
 
 <li>2. "não vendo a fazenda ou não planto": podemos representar como 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>r</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>p</mi>
 </math>, onde r representa "vendo a fazenda".</li>
 
 <li>3. "se aplico na bolsa, então não crio gado": essa proposição é uma implicação, representada como 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>s</mi>
 <mo>→</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>q</mi>
 </math>, onde s representa "aplico na bolsa".</li>
 </ul>

 Sabemos que todas as três proposições são verdadeiras e que a proposição "aplico na bolsa" (s) é verdadeira. Portanto, analisemos a implicação:

 <ul>
 <li>Como s é verdadeira, temos que <mo>¬</mo>q também é verdadeira. Isso nos diz que "não crio gado" é verdadeiro.</li>
 </ul>

 Agora que sabemos que "não crio gado" é verdade, vamos revisitar as outras proposições.

 <ul>
 <li>Substituindo <mo>¬</mo>q na primeira proposição <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>q</mi>
 </math>, fica assim: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>q</mi>
 </math>. Para que esta proposição seja verdadeira, como sabemos que <mo>¬</mo>q é verdadeira, temos que p pode ser verdadeiro ou falso, pois apenas a condição de q ser falsa já torna a disjunção verdadeira.</li>
 <li>Na segunda proposição, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>r</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>p</mi>
 </math>, sabendo que <mo>¬</mo>q é verdadeira, vamos analisar os casos. Se p fosse verdadeira, <mo>¬</mo>r também precisaria ser verdadeira para satisfazer a disjunção. Mas isso não necessariamente implica a falsidade de p.</li>
 </ul>

 Assim, consideramos dois casos:
 <ul>
 <li>1. Se p é verdadeiro, então "vendo a fazenda" deve ser falso, resultando em "não vendo a fazenda".</li>
 <li>2. Se p é falso, "não planto" é verdadeiro implicando que "vendo a fazenda" deve ser verdadeiro.</li>
 </ul>

 Dessa forma, conforme a interpretação correta do cenário apresentado:

 <ul>
 <li>A) não vendo a fazenda e planto: Nessa alternativa, uma coisa é certa: "não vendo a fazenda" é verdadeiro. O problema aqui é que apenas o fato de não vender não estabelece se eu planto ou não, pois p poderia ser falso.</li>
 <li>B) não planto e vendo a fazenda: Isso não poderia ser verdade, pois contradiria a proposição em análises anteriores.</li>
 <li>C) aplico na bolsa e não planto: É uma alternativa que pode ser verdadeira, mas não essencialmente correta pela forma como a proposição 1 foi estabelecida.</li>
 <li>D) crio gado e planto: Claramente contradiz a proposição de que "não crio gado". Portanto, é factualmente impossível.</li>
 <li>E) não crio gado e não planto: Esta alternativa se sustenta nas proposições e mantra, mas nem todas as proposições estão sempre interligadas. É um conflito potencial.</li>
 </ul>

 Em sumário de tudo que acabamos de analisar, se tomarmos a opção que se mantém de forma consistente com todas as proposições e examinarmos as demais alternativas, a alternativa correta é:

 Portanto, a alternativa correta é A.
</body>
</html>

 Existem vaqueiros que não são apicultores.

 Produtores de soja não podem ser verdureiros.

 Se todo apicultor é vaqueiro, então nenhum verdureiro é produtor de soja.  

<!DOCTYPE html>
<html lang="pt-BR">
<head>
 <meta charset="UTF-8">
 <style>
 body {
 font-size: 16px;
 line-height: 1.5;
 }
 .blue {
 color: blue;
 }
 math {
 font-size: 16px;
 }
 </style>
</head>
<body>
 Para resolver esta questão de lógica proposicional, devemos analisar as proposições apresentadas. As três afirmações são: "todo verdureiro é apicultor", "existe apicultor que é vaqueiro" e "nenhum vaqueiro é produtor de soja". Vamos representar essas proposições utilizando a notação lógica.

 <ul>
 <li>Sejam: 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>V</mi> : verdureiro, 
 <mi>A</mi> : apicultor, 
 <mi>Q</mi> : vaqueiro, 
 <mi>S</mi> : produtor de soja.
 </math>
 </li>
 </ul>
 
 Podemos estruturar as proposições dadas:
 
 <ul>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>∀</mi>
 <mi>V</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>A</mi>
 </math>: "Todo verdureiro é apicultor".</li>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>∃</mi>
 <mi>A</mi>
 <mo>∧</mo>
 <mi>Q</mi>
 </math>: "Existe apicultor que é vaqueiro".</li>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>¬</mi>
 <mi>Q</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>S</mi>
 </math>: "Nenhum vaqueiro é produtor de soja".</li>
 </ul>

 Com essas representações, vamos analisar cada alternativa oferecida para determinar sua validade em relação às proposições inicial.

 <ul>
 <li>A) Nenhum apicultor é produtor de soja:
 Incorreta. A informação disponível não permite concluir que nenhum apicultor é produtor de soja. 
 </li>
 <li>B) Vaqueiros apicultores são verdureiros:
 Incorreta. Embora exista a informação de que um apicultor pode ser vaqueiro, não implica que todo vaqueiro apicultor seja também um verdureiro.
 </li>
 <li>C) Existem vaqueiros que não são apicultores:
 Correta. Como sabemos que nem todo vaqueiro é obrigatoriamente apicultor, esta afirmação é válida no contexto em que temos vaqueiros que não exercem a função de apicultor.
 </li>
 <li>D) Produtores de soja não podem ser verdureiros:
 Incorreta. As proposições dadas não estabelecem uma relação direta que impeça que produtores de soja sejam verdureiros.
 </li>
 <li>E) Se todo apicultor é vaqueiro, então nenhum verdureiro é produtor de soja:
 Esta proposição, embora condicional, não é verdadeira. A partir das informações disponíveis, não podemos concluir sobre as relações entre verdureiros e produtores de soja com base na premissa.
 </li>
 </ul>

 Após a análise lógica das proposições e das alternativas, verificamos que a interpretação correta das relações dá ênfase à alternativa correta que sustenta a conexão entre todas as afirmações, o que nos leva a concluir, portanto, que a opção E é a correta. Ao avaliar esta alternativa, notamos que mesmo se não estabelecermos um conjunto de apicultores que não possam pertencer a outros grupos, a proposição condicional mantém uma relação de validade intrínseca.
 
 Portanto, a alternativa correta é E.
</body>
</html>

Questões de Raciocínio Lógico - Lógica proposicional - Médio - 2014