Se Carlos for a festa, então Bernardo também irá à festa.

Se Alberto for a festa, então Carlos também irá à festa.

Se Alberto não for a festa, então Bernardo também não irá à festa.

Se Alberto não for a festa, então Bernardo irá à festa.

Se Carlos for a festa, então Bernardo não irá à festa.

No problema proposto, devemos calcular a quantidade de números inteiros positivos de 4 algarismos que possuem pelo menos um algarismo ímpar. Os números de 4 algarismos variam de 1000 a 9999.

Para iniciar a análise, determinamos o total de números com 4 algarismos. O intervalo de 1000 a 9999 contém:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>9999</mn>
 <mo>-</mo>
 <mn>1000</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>1</mn> 
</math> = 9000 números.

Agora, calculamos a quantidade de números que não contêm algarismos ímpares (somente algarismos pares). Um número só com algarismos pares deve ter cada algarismo como 0, 2, 4, 6 ou 8:

<ul>
 <li>O primeiro algarismo (dos milhares) não pode ser 0 (senão não seria um número de 4 algarismos). Então, temos 4 opções: 2, 4, 6, 8.</li>
 <li>Os outros três algarismos (centenas, dezenas e unidades) podem ser 0, 2, 4, 6, ou 8, logo 5 opções cada.</li>
</ul>

Usando o princípio fundamental da contagem para esses números, temos:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>4</mn>
 <mo>⁢</mo>
 <mi>×</mi>
 <mo>⁢</mo>
 <mn>5</mn>
 <mo>⁢</mo>
 <mi>×</mi>
 <mo>⁢</mo>
 <mn>5</mn>
 <mo>⁢</mo>
 <mi>×</mi>
 <mo>⁢</mo>
 <mn>5</mn>
</math> = 500 números.

Subtraindo estes 500 números (todos pares) do total, temos o número de opções que inclui pelo menos um algarismo ímpar:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>9000</mn>
 <mo>-</mo>
 <mn>500</mn>
</math> = 8500 números.

Assim, a quantidade de números de 4 algarismos que têm pelo menos um algarismo ímpar é de 8500, e a alternativa correta é D.

Para resolver essa questão, vamos aplicar o princípio de inclusão e exclusão dos conjuntos, representando-os como A para o conjunto dos que praticam futebol e B para os que praticam voleibol. Começamos identificando os totais dados:

<ul>
<li>Número de pessoas no grupo: 60</li>
<li>Número de pessoas que praticam futebol (n(A)): 43</li>
<li>Número de pessoas que praticam voleibol (n(B)): 27</li>
</ul>

A formula general do princípio de inclusão e exclusão é dada por:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∪</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 <mo>=</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 <mo>+</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 <mo>-</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
</math>

Substituindo os valores dados, temos:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>60</mi>
 <mo>=</mo>
 <mi>43</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>27</mi>
 <mo>-</mo>
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
</math>

Simplificando:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>n</mi>
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 <mo>=</mo>
 <mi>43</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>27</mi>
 <mo>-</mo>
 <mi>60</mi>
</math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>=</mo>
 <mn>10</mn>
</math>

Portanto, o menor número possível de pessoas que praticam ambos os esportes, futebol e voleibol, é 10, se não houver nenhum participante fora desses conjuntos. Isso confirma que a alternativa A, que é 10, está correta, com base na informação do enunciado e na teoria dos conjuntos.

Questões de Raciocínio Lógico - Administrador - 2015