(p ∧ q) → (p → q)

(p ∧ q) → (p V q)

(p → q) ∧ (p V q)

Para resolver esta questão, precisamos identificar a proposição que não é uma tautologia entre as alternativas dadas. Uma tautologia é uma proposição lógica que é verdadeira sob qualquer interpretação de suas variáveis. Vamos analisar cada proposição:

<ul>
 <li>Alternativa A: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∨</mo><mover><mi>p</mi><mo stretchy="false">˜</mo></mover></math>
 <ul>
 <li>Esta é a lei do terceiro excluído, que afirma que uma proposição ou sua negação deve ser verdadeira. Logo, trata-se de uma tautologia.</li>
 </ul>
 </li>
 <li>Alternativa B: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∧</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>→</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></math>
 <ul>
 <li>Essa é uma implicação direta entre duas proposições onde a segunda é uma consequência lógica da primeira. Portanto, é uma tautologia.</li>
 </ul>
 </li>
 <li>Alternativa C: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>p</mi><mo>→</mo><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></math>
 <ul>
 <li>Esta proposição diz que se p é verdadeira, então "p ou q" deve ser verdadeira, o que é sempre correto mesmo que q seja falsa. Assim, é uma tautologia.</li>
 </ul>
 </li>
 <li>Alternativa D: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∧</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></math>
 <ul>
 <li>Se tanto p quanto q são verdadeiros (conjunção), então pelo menos um deles é verdadeiro (disjunção). Esta é uma tautologia, pois é uma implicação sempre verdadeira.</li>
 </ul>
 </li>
 <li>Alternativa E: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>→</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo><mo>∧</mo><mo>(</mo><mrow><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mi></math>
 <ul>
 <li>Esta proposição combina uma implicação com uma disjunção. Embora a implicação sozinha ou a disjunção sozinha possam ser verdadeiras, sua conjunção não é necessariamente verdadeira em todos os casos. Por exemplo, se p é verdadeiro e q é falso, a implicação é falsa e a disjunção é verdadeira, tornando a expressão global falsa. Portanto, não é uma tautologia.</li>
 </ul>
 </li>
</ul>

Portanto, a alternativa correta é E, pois é a única opção que não representa uma tautologia.

<!DOCTYPE html>
<html lang="pt-BR">
<head>
 <meta charset="UTF-8">
 <style>
 body {
 font-size: 16px;
 line-height: 1.5;
 }
 .blue {
 color: blue;
 }
 math {
 font-size: 16px;
 }
 </style>
</head>
<body>
 Para julgarmos a afirmação de que a expressão <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>⇒</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>∨</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo></math> é uma tautologia, precisamos determinar se essa expressão é sempre verdadeira independentemente dos valores de verdade de <mi>P</mi> e <mi>Q</mi>.

 Um condicional como <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>⇒</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>∨</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo></math> é falso apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Precisamos, então, verificar se existe alguma combinação de valores lógicos para <mi>P</mi> e <mi>Q</mi> que torna a expressão falsa.

 Para determinar isso, consideramos o antecedente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>⇒</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></math> e o consequente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>∨</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo></math>.

 Vamos examinar as possíveis combinações de valores para <mi>P</mi> e <mi>Q</mi>, construindo uma tabela-verdade:

 <table align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="1" style="background-color:#eeeeee; text-align:center;">
 <thead>
 <tr>
 <th scope="col">P</th>
 <th scope="col">Q</th>
 <th scope="col">P ⇒ Q</th>
 <th scope="col">Q ∧ (P ⇒ Q)</th>
 <th scope="col">P ∨ Q</th>
 <th scope="col">(Q ∧ (P ⇒ Q)) ⇒ (P ∨ Q)</th>
 </tr>
 </thead>
 <tbody>
 <tr>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>V</td>
 <td>F</td>
 <td>F</td>
 <td>F</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>F</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 <td>V</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>F</td>
 <td>F</td>
 <td>V</td>
 <td>F</td>
 <td>F</td>
 <td>V</td>
 </tr>
 </tbody>
 </table>

 Analisando a tabela acima, a última coluna, correspondente ao valor do condicional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>Q</mi><mo>∧</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>⇒</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>∨</mo><mi>Q</mi><mo>)</mo></math>, apresenta apenas valores verdadeiros, ou seja, é sempre verdadeira, em todas as combinações possíveis de <mi>P</mi> e <mi>Q</mi>.

 Dessa maneira, concluímos que a expressão original é, de fato, uma tautologia, pois não existe nenhuma circunstância que a torne falsa. Sendo assim, a afirmação do enunciado está correta.

 Portanto, a alternativa correta é C.
</body>
</html>

A expressão (Q˄(P ⇒ Q)) ⇒ P˅Q é uma tautologia.

Julgue o item a seguir, considerando que as proposições lógicas simples sejam representadas por letras maiúsculas e utilizem como conectivos lógicos os símbolos ˄ (conjunção), ˅ (disjunção), ⇒ (condicional) e ⇔ (bicondicional).


Primeiramente, vamos analisar a expressão dada na questão do Instituto Brasileiro de Apoio e Desenvolvimento Executivo. A proposição é <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mfenced>
 <mrow>
 <mi>P</mi>
 <mo>∧</mo>
 <mi>Q</mi>
 </mrow>
 </mfenced>
 <mo>↔</mo>
 <mfenced>
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mi>P</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>Q</mi>
 </mrow>
 </mfenced>
</math>, que pode ser interpretada passo a passo considerando as operações lógicas envolvidas.

<ul>
<li>Alternativa A: Contingência - Uma proposição contingente é aquela que é verdadeira sob algumas configurações de verdade e falsa sob outras. No entanto, como veremos, a expressão em questão não tem essa propriedade.</li>

<li>Alternativa B: Tautologia - Uma tautologia é verdadeira em todas as possíveis combinações de verdade das proposições que compõem. Esta alternativa também não corresponde à expressão fornecida.</li>

<li>Alternativa C: Implica lógica - A proposição não representa uma codificação direta de uma implicação lógica única, mas sim um bicondicional, considerando uma equivalência que sempre é falsa.</li>

<li>Alternativa D: Contradição - Esta é a alternativa correta. Analisando a lógica, temos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mfenced>
 <mrow>
 <mi>P</mi>
 <mo>∧</mo>
 <mi>Q</mi>
 </mrow>
 </mfenced>
</math> como "P e Q", e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mfenced>
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mi>P</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>Q</mi>
 
 </mrow></mfenced>
</math> como "nem P nem Q", que nega diretamente o anterior. Portanto, sempre que um é verdadeiro, o outro é falso, tornando o bicondicional sempre falso. Assim, é uma contradição.</li>

<li>Alternativa E: Paradoxo - Não há nenhum paradoxo envolvido nesta expressão, já que ela pode ser logicamente analisada e verificada conforme descrito.</li>
</ul>

Considerando as análises, e visto que a proposição é sempre falsa em todas as combinações possíveis de P e Q, tal proposição representa uma contradição.

A alternativa correta é D.

 se Eduardo compareceu ao serviço militar, então não pagou multa se, e somente se, aceitou servir por um ano 

 Eduardo compareceu ao serviço militar ou não pagou multa se, e somente se, aceitou servir por um ano 

 se Eduardo compareceu ao serviço militar, então não pagou multa, mas aceitou servir por um ano 

 se Eduardo não compareceu ao serviço militar, então pagou multa, mas aceitou servir por um ano

De acordo com o texto, temos que marcar a opção correta, sabendo que a simbologia lógica que a questão pede é: p → (~q ↔ r). Notamos que será: Se... então. Portanto, a única alternativa que se enquadra nesta simbologia é a letra A. Resposta letra A

De acordo com o texto, temos que marcar a opção correta, sabendo que as duas proposições compostas são equivalentes somente se suas tabelas verdade têm, como resposta, a mesma sequência de valores lógicos. Sendo os valores de P1 e P2 equivalentes, logo temos verdadeiro e verdadeiro ou falso e falso.Assim, temos que: P1&nbsp;→ P2&nbsp;e P1&nbsp;↔ P2 V → V = V F ↔ F = V Resposta letra C

Questões de Raciocínio Lógico - Tautologia, Contradição e Contingência - Superior - 2022