 Se o valor lógico de uma proposição simples é verdade, e o valor lógico de uma outra proposição simples é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as duas proposições, nessa ordem, é verdade 

 Se o valor lógico de uma proposição simples é falso, e o valor lógico de uma outra proposição simples é verdade, então o valor lógico da disjunção entre as duas proposições, nessa ordem, é falso 

 Se o valor lógico de uma proposição simples é falso, e o valor lógico de uma outra proposição simples é verdade, então o valor lógico do condicional entre as duas proposições, nessa ordem, é verdade 

 Se o valor lógico de uma proposição simples é verdade, e o valor lógico de uma outra proposição simples é falso, então o valor lógico da conjunção entre as duas proposições, nessa ordem, é verdade

Analisaremos cada uma das alternativas com base nos princípios do raciocínio lógico proposicional, representando as operaçōes pertinentes através do MathML:

<ul>
<li>Alternativa A) A afirmação diz que se uma proposição <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é verdadeira (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>) e outra proposição <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math> é falsa (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>), então o bicondicional (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>↔</mo><mi>q</mi></math>) é verdadeiro. A verdade do bicondicional acontece se ambas proposiçōes têm o mesmo valor lógico. Neste caso, com <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> sendo verdadeiro e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math> sendo falso, eles têm valores diferentes, então o bicondicional é falso.</li>

<li>Alternativa B) A proposiçāo diz que se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é falsa (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>) e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math> é verdadeira (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>), então a disjunção (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∨</mo><mi>q</mi></math>) é falsa. Porém, a disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposiçōes for verdadeira, o que é o caso aqui com <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math>. Logo, essa alternativa é incorreta.</li>

<li>Alternativa C) Afirma que se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é falso (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>) e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math> é verdadeiro (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>), então o condicional (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>→</mo><mi>q</mi></math>) é verdadeiro. Isso é de fato correto pois o condicional só é falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso.</li>

<li>Alternativa D) Diz que se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi></math> é verdadeiro (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math>) e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>q</mi></math> falso (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>), então a conjunção (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mo>∧</mo><mi>q</mi></math>) é verdadeira. Porém a conjunção só é verdadeira se ambas as proposiçōes são verdadeiras, que claramente não é o caso aqui.</li>
</ul>

Assim, a única alternativa corretamente aplicando os conceitos dos operadores lógicos é a C, onde o condicional é sim verdadeiro quando o antecedente é falso e o consequente é verdadeiro. Portanto, a alternativa correta é C.

O problema apresenta uma cadeia de proposições do tipo "todo A é B" e "todo B é C", e pede para identificar a alternativa incorreta. Vamos analisar cada uma das alternativas usando princípios de lógica proposicional e teoria dos conjuntos:

<ul>
<li>Alternativa A: "Todo A é C". 
Desde que temos que todo A é B e todo B é C, pela transitividade das proposições categóricas, todos os elementos de A são também elementos de C. Matematicamente, se <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi></math> e <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi></math>, então <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi> <mo>⊆</mo> <mi>C</mi></math>. Portanto, esta afirmativa é correta.</li>

<li>Alternativa B: "Pode haver C que não é B".
Dado que todo B é C, sabemos que todos os elementos de B estão contidos em C. Porém, isso não elimina a possibilidade de C ter elementos adicionais que não pertencem a B. Portanto, ele é possível e a afirmativa é correta.</li>

<li>Alternativa C: "Pode haver B que não é A".
Isso decorre naturalmente do fato de "todo A é B", mas não implica que "todo B é A". Assim, pode existir elementos em B que não pertencem a A, o que torna esta afirmativa correta.</li>

<li>Alternativa D: "B que não é A, pode não ser C".
Aqui reside um erro de raciocínio. Uma vez que estabelecemos que todo B é C, mesmo os elementos de B que não são A ainda devem ser C, pois todos os elementos de B, sem exceção, estão contidos em C. Logo, essa afirmativa é incorreta.</li>
</ul>

Com base nessa análise, será destacada que a alternativa correta é D.

 O candidato foi bem sucedido ou a avaliação não foi anulada 

 Se o candidato não foi bem sucedido, então a avaliação foi anulada 

 A avaliação não foi anulada e o candidato foi bem sucedido 

 A avaliação foi anulada e o candidato não foi bem sucedido

Para abordar a questão, primeiro convertemos a frase inicial em uma expressão lógica e, em seguida, aplicamos as regras da negação lógica. A frase original é: "O candidato não foi bem sucedido ou a avaliação foi anulada."

Representando:
- \( p \): O candidato foi bem sucedido.
- \( q \): A avaliação foi anulada.

A frase original pode ser escrita como:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>q</mi>
 </mrow>
</math>

A negação dessa proposição é:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mrow>
 <mo>(</mo>
 <mrow>
 <mo>¬</mo>
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>q</mi>
 </mrow>
 <mo>)</mo>
 </mrow>
 </mrow>
</math>

Aplicando as leis de De Morgan, transformamos isso em:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mrow>
 <mi>p</mi>
 <mo>∧</mo>
 <mo>¬</mo>
 <mi>q</mi>
 </mrow>
</math>

Isto significa: "O candidato foi bem sucedido e a avaliação não foi anulada."

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) "O candidato foi bem sucedido ou a avaliação não foi anulada"
- Essa alternativa representa a expressão \( p \vee \neg q \), que não é a negação completa, uma vez que é a disjunção, não a conjunção.

B) "Se o candidato não foi bem sucedido, então a avaliação foi anulada"
- Essa alternativa representa uma implicação, não uma negação direta.

C) "A avaliação não foi anulada e o candidato foi bem sucedido"
- Representa corretamente \( p \wedge \neg q \).

D) "A avaliação foi anulada e o candidato não foi bem sucedido"
- Representa \( \neg p \wedge q \) e não é a negação da expressão original.

Com base nesta análise, a alternativa correta é C, pois segue diretamente da aplicação das leis de De Morgan à negação da proposição inicial.

De acordo com o texto, temos que calcular quantas pessoas votariam no candidato B, sabendo que 260 pessoas sobre o candidato preferido para votar e o resultado foi o seguinte: 120 votariam no candidato A, 130 votariam em somente um dos dois e 45 votariam em nenhum dos dois. Apenas em 1 = 130Apenas em 2 = 85 45 não votaram em nenhum Se A possui 120 votos e 85 votaram em dois, logo 120 - 85 = 35 pessoas votaram em A. Dos 130 que votaram em apenas 1, sendo 35 de A, logo 130 - 35 = 95 votaram em B. 95 + 85 = 180 votaram em B Resposta letra A

 Se a estátua da Liberdade fica em Nova Orleans, então as muralhas não ficam na China 

 A estátua da Liberdade fica em Nova Orleans ou as muralhas ficam na China 

 Se as muralhas ficam na China, então a estátua da Liberdade não fica em Nova Orleans 

 A estátua da Liberdade fica em Nova Orleans e as muralhas ficam na China

Para resolver a questão proposta, é necessário analisar a equivalência lógica entre a proposição dada no enunciado e as alternativas apresentadas. A proposição original é: “Se a estátua da Liberdade não fica em Nova Orleans, então as muralhas ficam na China”.

Inicialmente, vamos definir as variáveis lógicas:
- p: "a estátua da Liberdade não fica em Nova Orleans"
- q: "as muralhas ficam na China"

A proposição original pode ser escrita de forma simplificada usando operadores lógicos como:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>p</mi>
 <mo>→</mo>
 <mi>q</mi>
</math>

A obtenção da equivalência lógica requer a transformação desta proposição. Usando as leis da lógica (especificamente, a Lei de Implicação), sabemos que "p → q" é equivalente a "¬p ∨ q", em que "¬" indica negação e "∨" indica disjunção (ou). Assim, temos:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mo>¬</mo>
 <mi>p</mi>
 <mo>∨</mo>
 <mi>q</mi>
</math>

Convertendo isso de volta ao contexto do problema, onde "¬p" corresponde a "a estátua da Liberdade fica em Nova Orleans", resulta em:
"A estátua da Liberdade fica em Nova Orleans ou as muralhas ficam na China".

Vamos agora analisar as alternativas com base nesta equivalência:

A) "Se a estátua da Liberdade fica em Nova Orleans, então as muralhas não ficam na China" - Esta proposição corresponde a um condicional inverso e não é logicamente equivalente à original.
B) "A estátua da Liberdade fica em Nova Orleans ou as muralhas ficam na China" - Esta alternativa é logicamente equivalente à transformação que realizamos usando a Lei de Implicação. 
C) "Se as muralhas ficam na China, então a estátua da Liberdade não fica em Nova Orleans" - Isso representaria uma relação de condicional que não corresponde à transformação da proposição original.
D) "A estátua da Liberdade fica em Nova Orleans e as muralhas ficam na China" - Isso sugere uma conjunção, que não representa a disjunção necessária encontrada na transformação lógica.

Conclusivamente, a alternativa correta é B, que é a única que mantém a relação lógica adequada com a proposição original do enunciado.

Questões de Raciocínio Lógico - Prefeitura Municipal de Contagem/MG