O líder dos escoteiros, com o objetivo de saber quais dos seus 85 alunos conheciam os nós ensinados – nó fiel e nó dinâmico –, aplicou um questionário. Os resultados mostraram que 30 alunos sabiam fazer o nó fiel e 45 não sabiam fazer o nó dinâmico. Além disso, o número de alunos que sabiam fazer os dois nós era metade do número de alunos que sabiam apenas o nó fiel. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.

Mais da metade dos alunos não sabe fazer o nó dinâmico.


<!DOCTYPE html>
<html lang="pt-BR">
<head>
 <meta charset="UTF-8">
 <style>
 body {
 font-size: 16px;
 line-height: 1.5;
 }
 .blue {
 color: blue;
 }
 math {
 font-size: 16px;
 }
 </style>
</head>
<body>
 Para resolver a questão proposta sobre a interseção dos conjuntos que representam guardas que usam bermuda e boné, podemos utilizar o princípio da inclusão-exclusão. Os dados fornecidos foram:
 <ul>
 <li>A quantidade total de guardas: 50</li>
 <li>Guardas que estão de bermuda: 35</li>
 <li>Guardas que estão de boné: 27</li>
 </ul>

 Usando as notações para os conjuntos:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>A</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>35</mn> 
 </math>
 
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>B</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>27</mn> 
 </math>

 Queremos encontrar o número de guardas que estão usando tanto bermuda quanto boné, indicado por <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 </math>.

 Para isso, utilizamos a fórmula do princípio da inclusão-exclusão que se aplica a dois conjuntos:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∭</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>=</mo>
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>+</mo>
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>-</mo>
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 </math>
 
 Uma vez que sabemos que todos os 50 guardas estão usando bermuda ou boné, podemos escrever:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>50</mn>
 <mo>=</mo>
 <mn>35</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>27</mn>
 <mo>-</mo>
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 </math>

 Agora, simplificando a equação, temos:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>50</mn>
 <mo>=</mo>
 <mn>62</mn>
 <mo>-</mo>
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 </math>

 Isolando <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 </math>, obtemos:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>=</mo>
 <mn>62</mn>
 <mo>-</mo>
 <mn>50</mn>
 </math>
 
 Essa simplificação resulta em:
 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>N</mi>
 <mo>(</mo>
 <mi>A</mi>
 <mo>∩</mo>
 <mi>B</mi>
 <mo>)</mo>
 <mo>=</mo>
 <mn>12</mn>
 </math>

 Assim, encontramos que o número de guardas que estão usando tanto bermuda quanto boné é <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>12</mn>
 </math>.

 Agora, analisemos as alternativas:

 <ul>
 <li>A) 35: Incorreto. Este número se refere apenas à quantidade total de guardas que estão de bermuda.</li>
 <li>B) 27: Incorreto. Este número se refere apenas à quantidade total de guardas que estão de boné.</li>
 <li>C) 23: Incorreto. Este número não corresponde à interseção ou à união dos conjuntos.</li>
 <li>D) 15: Incorreto. Este número também não corresponde ao cálculo realizado.</li>
 <li>E) 12: Correto. Este número é a interseção correta dos guardas que estão usando tanto bermuda quanto boné.</li>
 </ul>

 Portanto, a alternativa correta é E.
</body>
</html>

 os elementos de B que são elementos de A não são elementos de C.

 não há elemento que seja apenas elemento de A e B.

 não há elemento de C que não seja elemento de A e de B.

 qualquer elemento de A que não seja apenas de A é elemento de B ou de C.

 há pelo menos um elemento de C que é elemento de A e não é elemento de B.

GABARITO: LETRA D Veja o diagrama abaixo: <img src="https://mapaava.s3.amazonaws.com/66e43cf0348df4355f0087eftj_sp_escrevente_vunesp_2024_prova5.png">LETRA A (ERRADO), veja o conjunto "C" estar contido dentro do conjunto "B", assim estar errada a alternativa. LETRA B (ERRADO), veja que temos uma interseção, assim podemos não podemos afirmar que "não há elemento que seja apenas elemento de A e B", pois não sabemos a quantidade de elementos em si, assim estar errada a alternativa. LETRA C (ERRADO), veja que temos uma interseção, que ligar os 3 (três) conjuntos, assim não podemos afirmar que "Não há elemento de C que não seja elemento de A e de B", assim estar errada a alternativa. LETRA D (CERTO), veja que temos 3(três) conjuntos, assim caso possuir outro elemento que não seja do conjunto "A", então vai ser do conjunto B e C; LETRA E (ERRADO), veja que com as informações dada não há dados suficiente para fazer tal afirmação.

GABARITO: LETRA BVamos fazer no passo a passo, beleza? 1º PASSO: VAMOS ANOTAR OS DADOS;<ul><li>7 pessoas visitaram as três cidades.</li><li>7 pessoas visitaram apenas Cabo Frio.</li><li>Cabo Frio foi visitada por 20 pessoas.</li><li>Ouro Preto foi visitada por 13 pessoas, das quais 1 visitou apenas Ouro Preto.</li><li>Vila Velha foi visitada por 18 pessoas, sendo que o número de pessoas que visitaram apenas Vila Velha é igual ao número de pessoas que visitaram Vila Velha e Cabo Frio.</li></ul> 2º PASSO: FAZER A ORGANIZAÇÃO DOS CONJUNTOS; 1 - Cabo Frio (total: 20 pessoas):<ul><li>7 pessoas visitaram apenas Cabo Frio.</li><li>7 pessoas visitaram as três cidades.</li><li>Restam 20 − 7 − 7 =6 pessoas que visitaram Cabo Frio e outra cidade, mas não as três cidades.</li></ul> 2 - Ouro Preto (total: 13 pessoas):<ul><li>1 pessoa visitou apenas Ouro Preto.</li><li>7 pessoas visitaram as três cidades.</li><li>Restam 13 − 1 − 7 = 5 pessoas que visitaram Ouro Preto e outra cidade, mas não as três cidades.</li></ul> 3 - Vila Velha (total: 18 pessoas):<ul><li>O número de pessoas que visitaram apenas Vila Velha é igual ao número de pessoas que visitaram Vila Velha e Cabo Frio (mas não as três cidades). Se x representa cada grupo, temos:</li></ul> X + 7 + x =18 2x + 7 = 18x = 5.Assim:&nbsp;<ul><li>5 pessoas visitaram apenas Vila Velha.</li><li>5 pessoas visitaram Vila Velha e Cabo Frio (mas não as três cidades).</li></ul> 3º PASSO: CONCLUSÃO;Pessoas que visitaram duas cidades, e apenas duas:<ol><li>Cabo Frio e Ouro Preto: 66 pessoas.</li><li>Cabo Frio e Vila Velha: 55 pessoas.</li><li>Ouro Preto e Vila Velha: 44 pessoas (13 − 1 − 7 − 5 = 4)</li></ol>Total: 6 + 5+ 4 = 9 GABARITO: LETRA B

<!DOCTYPE html>
<html lang="pt-BR">
<head>
 <meta charset="UTF-8">
 <style>
 body {
 font-size: 16px;
 line-height: 1.5;
 }
 .blue {
 color: blue;
 }
 math {
 font-size: 16px;
 }
 </style>
</head>
<body>
 Para resolver o problema apresentado, vamos utilizar o princípio da inclusão-exclusão. Precisamos calcular o número de amigos comuns entre Joana e Cecília com base nas informações fornecidas:

 <ul>
 <li>Amigos de Joana: 450</li>
 <li>Amigos de Cecília: 650</li>
 <li>Amigos de Joana ou de Cecília: 987</li>
 </ul>

 Denotemos:
 <ul>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>J</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>450</mn>
 </math> amigos de Joana</li>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>C</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>650</mn>
 </math> amigos de Cecília</li>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>U</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>987</mn>
 </math> amigos de Joana ou Cecília</li>
 <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>X</mi>
 </math> = número de amigos comuns a Joana e Cecília</li>
 </ul>

 O princípio da inclusão-exclusão nos diz que:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>U</mi>
 <mo>=</mo>
 <mi>J</mi>
 <mo>+</mo>
 <mi>C</mi>
 <mo>-</mo>
 <mi>X</mi>
 </math>

 Substituindo os valores conhecidos na fórmula, temos:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>987</mn>
 <mo>=</mo>
 <mn>450</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>650</mn>
 <mo>-</mo>
 <mi>X</mi>
 </math>

 Agora, vamos somar os amigos de Joana e Cecília:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>450</mn>
 <mo>+</mo>
 <mn>650</mn>
 <mo>=</mo>
 <mn>1100</mn>
 </math>

 Substituindo este resultado na equação, ficamos com:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mn>987</mn>
 <mo>=</mo>
 <mn>1100</mn>
 <mo>-</mo>
 <mi>X</mi>
 </math>

 Reorganizando a equação para encontrar X, temos:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>X</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>1100</mn>
 <mo>-</mo>
 <mn>987</mn>
 </math>

 Realizando a subtração:

 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <mi>X</mi>
 <mo>=</mo>
 <mn>113</mn>
 </math>

 Portanto, o número de amigos comuns a Joana e Cecília é 113.

 Analisando as alternativas apresentadas:

 <ul>
 <li>A) 337: Incorreto, pois o resultado obtido foi 113.</li>
 <li>B) 200: Incorreto, não corresponde ao cálculo realizado.</li>
 <li>C) 113: Correto, pois reflete exatamente o valor que calculamos.</li>
 <li>D) 93: Incorreto, visto que o valor correto é 113.</li>
 </ul>

 Portanto, a alternativa correta é C.
</body>
</html>

Questões de Raciocínio Lógico - Diagramas de Venn - Médio